Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），且橢圓C經過點 ．
（1）求橢圓C的離心率：
（2）設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且 ，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： （a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣1，0），F2（1，0），且橢圓C經過點 ．

∴c=1，2a=PF1+PF2= =2 ，即a=

∴橢圓的離心率e= = =

（2）解：由（1）知，橢圓C的方程為 ，設點Q的坐標為（x，y）

（I）當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，﹣1）兩點，此時點Q的坐標為（0，2± ）

（II）當直線l與x軸不垂直時，可設其方程為y=kx+2，

因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），則

， ，又|AQ|2=（1+k2）x2，

∴ ，即 = …①

將y=kx+2代入 中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②

由△=（8k）2﹣24（2k2+1）＞0，得k2＞

由②知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入①中化簡得x2= …③

因為點Q在直線y=kx+2上，所以k= ，代入③中并化簡得10（y﹣2）2﹣3x2=18

由③及k2＞ 可知0＜x2＜ ，即x∈（﹣ ，0）∪（0， ）

由題意，Q（x，y）在橢圓C內，所以﹣1≤y≤1，

又由10（y﹣2）2﹣3x2=18得（y﹣2）2∈（ ， ）且﹣1≤y≤1，則y∈[ ，2﹣ ]

綜上得，點Q的軌跡方程為10（y﹣2）2﹣3x2=18，其中x∈（﹣ ， ），y∈[ ，2﹣ ]

【解析】（1）由題設條件結合橢圓的性質直接求出a，c的值，即可得到橢圓的離心率；（2）由題設過點A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，可設出直線的方程與橢圓的方程聯立，由于兩曲線交于兩點，故判斷式大于0且可利用根與系數的關系建立M，N兩點的坐標與直線的斜率k的等量關系，然后再設出點Q的坐標，用兩點M，N的坐標表示出 ，再綜合計算即可求得點Q的軌跡方程．