Question

解答題：應寫出文字說明，演算步驟或證明過程

如下圖，在直三棱柱ABC—中，AC＝BC＝＝2，∠ACB＝，E、F、G分別為AC、、AB的中點，

　　

(Ⅰ)求證∥平面EFG；

(Ⅱ)求FG與所成的角；

(Ⅲ)求證：FG⊥；

(Ⅳ)求三棱錐—EFG的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明在直三棱柱ABC－中，有∥BC． 又已知E、G分別為AC、AB的中點，故EG為△ABC的中位線． ∴BC∥EG． ∴∥EG． 又∵EG平面EFG，平面EFG， ∴∥平面EFG． (Ⅱ)(Ⅲ)直三棱柱ABC—的棱⊥底面ABC， 而EG底面ABC， ∴EG⊥， 又已知∠ACB＝，即BC⊥AC， ∵EG∥BC， 故EG⊥AC． 由于AC∩＝A，AC側面，側面， ∴EG⊥側面． ∵Ì 側面， ∴EG⊥． 又已知AC＝＝2，可有側面為正方形． ∵E、F分別為AC、的中點， 據平面幾何知識，得EF⊥． 由于EG∩EF＝E，EGÌ 平面EFG，EFÌ 平面EFG， ∴⊥平面EFG， ∵FGÌ 平面EFG， ∴⊥FG． 故與FG所成的角是． (Ⅳ)∵∥平面EFG， ∴＝． 又∵⊥平面EFG，設與EF交于點H，則為三棱錐—EFG的高， ∴＝＝·H