Question

已知函數．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處有極值，求a的值；
（Ⅱ）記函數y=F（x）的圖象為曲線C．設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點．如果在曲線C上存在點M（x₀，y₀），使得：①；②曲線C在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數F（x）存在“中值相依切線”．問函數f（x）是否存在“中值相依切線”，請說明理由；
（Ⅲ）求證：[（n+1）!]²＞（n+1）e^2（n-2）（n∈N^*）．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）．
求導函數，可得f′（x）=-ax
∵f（x）在x=1處取得極值，
即f'（1）=1-a=0，∴a=1．
當a=1時，在（1，+∞）內f'（x）＜0，在（0，1）內f'（x）＞0，
∴x=1是函數y=f（x）的極大值點，∴a=1．
（Ⅱ）假設函數f（x）存在“中值相依切線”．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則y₁=lnx₁-ax₁²，y₂=lnx₂-ax₂²．
∴k_AB==
曲線在點M（x₀，y₀）處的切線斜率k=f'（x₀）==
依題意得：
即
設（t＞1），上式化為：，
即．…（12分）
令，
因為t＞1，顯然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上遞增，
顯然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內不存在t，使得成立．
綜上所述，假設不成立．所以函數f（x）不存在“中值相依切線”．…（14分）
（3）證明：由（2）知，
令x=n（n+1），則，
所以，，，…，．
疊加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]＞2
則1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^2（n-2），
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^2（n-2），（n∈N^*）．
分析：（I）先求函數的定義域，然后求出導函數，根據f（x）在x=1處取得極值，則f'（1）=0，求出a的值，然后驗證即可；
（II）假設函數f（x）的圖象上存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切線”，根據斜率公式求出直線AB的斜率，利用導數的幾何意義求出直線AB的斜率，它們相等，再通過構造函數，利用導數研究函數的單調性和最值即可證明結論．
（3）由（2）可得，令x=n（n+1），則，寫出n個式子，疊加即可證明結論．
點評：本題考查應用導數研究函數的極值最值問題，考查不等式的證明，有關恒成立的問題一般采取分離參數，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法．