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已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b．求證：c－＜a＜c＋．

答案：
解析：

　　(1)證明：要證c－＜a＜c＋，只要證－＜a－c＜，即要證|a－c|＜，即要證(a－c)2＜c2－ab，即要證a2－2ac＜－ab，

　　∵a＞0，∴即要證a－2c＜－b．即要證a＋b＜2c，這是已知．

　　∴原不等式成立．

　　(2)另證：用綜合法．

　　∵a＋b＜2c，∴a－2c＜－b．

　　又a＞0，∴a2－2ac＜－ab．

　　∴(a－c)2＜c2－ab．即|a－c|＜．

　　∴－＜a－c＜，∴c－＜a＜c＋．

　　分析：觀察待證不等式是一個雙聯不等式，不易用比較法，又待證式子等價于－＜a－c＜．即|a－c|＜．也不具備使用基本不等式的特點，用分析法較為合適．


提示：

　　(1)評注：分析法的步驟為未知→需知→已知．在操作中“要證”“只要證”“即要證”這些詞語也是必不可少的，否則就是錯誤的．

　　(2)評注：綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單，條理清楚．所以在實際證題時，往往用分析法分析，用綜合法書寫．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，則α+β的最小值為（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ為參數）與直線l：
x=1+2t
y=1-t
（t為參數）是否有公共點，并證明你的結論．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，a+b=1，則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5
．

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科目：高中數學 來源：松江區二模 題型：解答題

已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求證：
DA
•
DB
為定值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（都不同于點E），且EM⊥EN，那么直線MN是否過定點？若是，請求出此定點的坐標；若不是，說明理由．然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結論（不要求書寫求解或證明過程）．
情形一：雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左頂點；
情形二：拋物線y2=2px（p＞0）及它的頂點；
情形三：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的頂點．

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