Question

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N（70，100）.已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名.

（1）試問此次參賽學生總數約為多少人？

（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？

可共查閱的（部分）標準正態分布表Φ（x₀）=P(x＜x₀)

x0	0	1	2	3	4
1.2	0.884 9	0.886 9	0.888	0.890 7	0.892 5
1.3	0.903 2	904 9	. 0.906 6	0.908 2	0.909 9
1.4	0.919 2	0.920 7	0.922 2	0.923 6	0.925 1
1.9	0.971 3	0.971 9	0.972 6	0.973 2	0.973 8
2.0	0.9772	0.9788	0.9783	0.9788	0.9793
2.1	0.982 1	0.982 6	0.983 0	0.983 4	0.9838
x0	5	6	7	8	9
1.2	0.894 4	0.896 2	0.898 0	0.899 7	0.901 5
1.3	0.911 5	0.913 1	0.914 7	0.916 2	0.917 7
1.4	0.926 5	0.927 8	0.929 2	0.930 6	0.931 9
1.9	0.974 4	0.975 0	0.975 6	0.976 2	0.976 7
2.0	0.979 8	0.980 3	0.980 8	0.981 2	0.981 7
2.1	0.984 2	0.984 6	0.985 0	0.985 4	0.985 7

Answer 1

解：（1）設參賽學生的分數為ξ，因為ξ&N(70,100)，由條件知，

P(ξ≥90)＝1－P（ξ＜90）＝1－F(90)＝1－Φ＝1－ Φ(2)＝1－0.977 2＝0.0228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此，參賽總人數約為≈526（人）.

（2）假定設獎的分數線為x分，則

P(ξ≥x)＝1－P（ξ＜x）＝1－F(x)＝1－Φ＝0.095 1，

即Φ＝0.904 9，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設獎得分數線約為83.1分.