Question

近幾年，上海市為改善城區交通投入巨資，交通狀況有了一定的改善，但人民廣場仍是市中心交通最為擁堵的地區之一．為確保交通安全，規定在此地段內，車距d是車速v（千米/小時）的平方與車身長s（米）之積的正比例函數，且最小車距不得少于車身長的一半，現假定車速為50千米/小時，車距恰為車身長．
（1）試寫出d關于v的解析式（其中s為常數）；
（2）問應規定怎樣的車速，才能使此地車流量Q=

1000v

d+s

最大？

Answer 1

分析：（1）根據車距d是車速v（千米/小時）的平方與車身長s（米）之積的正比例函數，可假設函數解析式．利用車速為50千米/小時，車距恰為車身長．可求d關于v的解析式；
（2）根據Q=

1000v

d+s

，可得關于v的函數，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）由已知：d=ksv2⇒k=

1

2500

∴d=

1

2500

sv2
當d≥

s

2

時，

1

2500

sv2≥

s

2

⇒v≥25

2

∴d=

s 2 ，0＜v＜25 2 1 2500 sv2，v≥25 2

（2）當v≥25

2

時，d=

1

2500

sv2
∴Q1=

1000v

1 2500 sv2+s

=

2500000

s(v+ 2500 v )

≤

25000

s

v，此時v=50千米/小時
當0＜v＜25

2

時，d=

s

2

∴Q2=

1000v

s 2 +s

=

1000v

3s

＜Q1
故當v=50千米/小時時，車流量最大．

點評：本題的考點是根據實際問題選擇函數類型．主要考查利用待定系數法求函數解析式，同時考查利用基本不等式求函數的最值，關鍵是將實際問題轉化為數學問題．