Question

如圖，在四棱錐P ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱,,底面為直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, ,O為AD中點.

(1)求直線與平面所成角的余弦值；

(2)求點到平面的距離；

(3)線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在,求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）與平面所成角的余弦值為；（2）點到平面的距離；（3）存在，.

【解析】

試題分析： 思路一、由PA=PD, O為AD中點，側面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形中,易得所以可以為坐標原點,為軸,為軸,

為軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解. 思路二、（1）易得平面，所以即為所求.(2)由于，從而平面，所以可轉化為求點到平面.(3)假設存在，過Q作，垂足為，過作，垂足為M，則即為二面角的平面角.設，利用求出，若，則存在，否則就不存在.

試題解析：(1) 在△PAD中PA=PD, O為AD中點，所以PO⊥AD,

又側面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

又在直角梯形中,易得;

所以以為坐標原點,為軸,為軸,

為軸建立空間直角坐標系.

則,,，;

,易證:,

所以平面的法向量,

所以與平面所成角的余弦值為 .4分

（2），設平面PDC的法向量為，

則，取得

點到平面的距離 .8分

（3）假設存在，且設.

因為

所以，

設平面CAQ的法向量中，則

取，得.

平面CAD的一個法向量為，

因為二面角Q OC D的余弦值為，所以.

整理化簡得：或（舍去），

所以存在，且 13分

考點：空間的角與距離.