Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的方程為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.交于，兩點（在軸上方），交極軸于點（異于極點）.

（1）求的直角坐標方程和的直角坐標；

（2）若為的中點，為上的點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；直角坐標為.（2）

【解析】

（1）把兩邊同時乘以，結合，可得的直角坐標方程，取，可得點的直角坐標.
（2）設所對應的參數分別為t1，t2（t1＞0），將代入，得到關于的一元二次方程，求得，進一步得到的坐標，再求出的圓心，可得，則的最小值可求．

解法一：（1）由及，得，即，

所以圓的直角坐標方程為；

令，得或0（舍去），所以點的直角坐標為.

（2）設，所對應的參數分別為，（其中），

將代入得，，

解得或，所以，因為為中點，所以，

設，則，，所以，

依題意，的圓心，所以，

所以最小值為.

解法二：（1）同解法一；

（2）將直的參數方程（為參數），消去得，

即的普通方程為，由得，

解得或4，所以，又，

因為為中點，即，

依題意，的圓心，所以，

所以最小值為.