Question

若橢圓ax²+by²=1與直線x+y=1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM（O為原點）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關于a、b的兩個方程，由OM的斜率為．OA⊥OB，易得a、b的兩個方程．
解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（，）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax²+by²=1，
∴=，=1-=．
∴M（，）．
∵k_OM=，∴b=a．①
∵OA⊥OB，∴•=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-+=．
∴+=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（-1），b=2（-1）．
∴所求方程為2（-1）x²+2（-1）y²=1．
點評：本題主要考查了橢圓的應用，直線與圓錐曲線的位置關系的問題．一般是把直線與圓錐曲線的方程聯立，充分利用判別式和韋達定理求得問題的解決．