Question

已知數列{a_n}的前n項和是S_n，滿足S_n=2a_n-1．
（1）求數列的通項a_n及前n項和S_n；
（2）若數列{b_n}滿足bn=

1	log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）若對任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）、根據題中已知條件先求出數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列，然后求出數列an的通項公式，根據等比數列前n項和的公式便可求出Sn的表達式；
（2）、將（1）中求得的Sn的表達式代入bn的表達式中即可求得bn的通項公式，然后即可求出數列{b_n}的前n項和T_n的表達式；
（3）、將（2）中求得的Tn的表達式代入T_n＜x²-ax+2，進一步推理即可得出x²-ax+1≥0在R上恒成立，即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）當n=1時，S₁=2a₁-1，a₁=1，
當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1（3分）
∴數列{a_n}是首項為1，公比為2的等比數列．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
Sn=

1-2n

1-2

=2n-1(n∈N*)．

（2）bn=

1

log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)
∴Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

(n∈N*)

（3）由T_n＜x²-ax+2恒成立，
即

n

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
即1-

1

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
必須且只須滿足1≤x²-ax+2恒成立，
即x²-ax+1≥0在R上恒成立
∴△=（-a）²-4×1≤0，
解得-2≤a≤2．

點評：本題主要考查了等比數列的基本性質以及數列與不等式的綜合，考查了學生的計算能力和對數列與不等式的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．