Question

數列中大量滲透了函數思想，那么數列與函數有何內在聯系？

Answer 1

答案：
解析：

導思：數列可以看作是一個定義域為正整數集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，而數列的通項公式也就是相應函數的解析式．數列與函數之間的關系是一般與特殊的關系． 　　探究：(1)對于公差不為零的等差數列{an}來說，它的通項是關于n的一次函數，從圖象上看，表示這個數列各點均勻地分布在一次函數y＝ax＋b(a≠0)的圖象上；它的前n項和Sn是關于n的無常數項的二次函數，因此也是關于n的一次函數．若在等差數列中，(p，q是非零常數)，則p，q必然滿足關系p＋2q＝0．這是因為an是關于n的一次函數，故pn＋q與n－1或2n－1是同類因式．由待定系數法，知p＋q＝0(舍去)或p＋2q＝0． 　　而許多關于項的問題，可以轉化為關于點的問題．如：等差數列{an}中，ap＝q，aq＝p(p≠q)，如何求ap+q．由于等差數列的通項an是關于n的一次函數，故三點(p，q)，(q，p)，(p＋q，ap+q)共線，由斜率相等，得，可得ap+q＝0． 　　(2)在數列{an}中，如果an＜an+1對n∈N*都成立，那么稱{an}是遞增數列；如果an＞an+1對n∈N*都成立，那么稱{an}是遞減數列．數列的單調性可以用函數的單調性來刻畫．例如，d≠0的等差數列的單調性與一次函數的單調性相同，當d＞0時，那么這個等差數列是遞增數列，當d＜0時，那么這個等差數列是遞減數列．在等差數列中其前n項和Sn是關于n的無常數項的二次函數，所以可以根據二次函數的特點找出前n項和Sn的最大值和最小值，這與其頂點坐標有密切關系，但是同時要注意其定義域的范圍． 　　總之，運用函數觀點研究等差數列或者其他數列的問題都是很方便的，可以更深刻地認識數列的本質，同時又能深化對函數概念的理解．