Question

已知當x∈（-

π

6

，π）時，不等式cos2x-2asinx+6a-1＞0恒成立，求實數a的取值范圍（　　）

• A、[-

  1

  2

  ，1]
• B、[-1，0]
• C、[-

  3

  2

  ，0]
• D、（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：先利用二倍角公式把題設不等式轉化為關于sinx的一元二次不等式，求得sinx的范圍，利用x的范圍可求得sinx的范圍，進而根據不等式恒成立推斷出（-a-

1

2

a2+12a

）＜2＜-

1

2

＜1＜（a+

1

2

a2+12a

），進而求得a的范圍．

解答：解：cos2x-2asinx+6a-1＞0
∴1-2sin²x-2asinx+6a-1＞0
∴sinx²+asinx-3a＜0
∴sinx∈（-a-

1

2

a2+12a

），（a+

1

2

√

a2+12a

）
∵x∈（-

π

6

，π）∴sinx∈（-

1

2

，1）
∴（-a-

1

2

a2+12a

）＜2＜-

1

2

＜1＜（a+

1

2

a2+12a

）
∴a＞

1

2

故選D．

點評：本題主要考查了三角函數的最值．考查了三角函數與不等式的綜合．