Question

如圖所示，已知過點A(0，1)且方向向量為a＝(1，k)的直線l與⊙C＝(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N兩點． (1) 求實數k的取值范圍 (2) 求證：·＝定值 (3) 若O為坐標原點，且·＝12，求k的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：直線l過點(0，1)，且方向向量a=(1，k)，∴直線l的方程為y=kx＋1．將其代入⊙C方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7=0()． 　　由△=[－4(1＋k)]2－4·(1＋k2)·7＞0，得＜k＜．
(2)	由平面幾何知識，若過A的圓C的一條切線為AT(T為切點)，則·=｜｜·｜｜·=｜AM｜·｜AN｜=｜AT｜2=7，即為定值．
(3)	設M(x1，y1)、N(x2，y2)，則由()得　 　　∴·=x1x2＋y1y2 　　　　　　　 =x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1) 　　　　　　　 =(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 　　　　　　　 =(1＋k2)·＋k·＋1 　　　　　　　 =＋8． 　　∴=4，得k=1，由(1)知k=1符合題意，∴k=1． 　　點評：本題根據向量數量積的坐標表示將題目中的·轉化成含點M、N坐標的數學式子，并利用、同向共線，其夾角為，將·轉化為｜AM｜·｜AN｜，實現了向量條件向解析幾何條件的轉化．