Question

已知數列a，b，c為各項都是正數的等差數列，公差為d（d＞0），在a，b之間和b，c之間共插入m個實數后，所得到的m+3個數所組成的數列{a_n}是等比數列，其公比為q．
（1）若a=1，m=1，求公差d；
（2）若在a，b之間和b，c之間所插入數的個數均為奇數，求所插入的m個數的乘積（用a，c，m表示），求證：q是無理數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得1+d=q²，1+2d=q³，消去q可得 其正根為 d=．若插入的一個數在b，c之間，
則 1+d=q，1+2d=q³，消去q可得 1+2d=（1+d）³，此方程無正根．
（2）設在 a，b之間插入l個數，在 b，c之間插入t個數，則l+t=m，①若q為正數，則 a₂•a₃…a_m+2=，
所插入 m 個數的積為 =•；②若q 為負數，所插入m個數的積為 =±．
（3）在等比數列{a_n}，q^m+2=2 q^l+1 -1，m≥l，若q為整數，2 q^l+1 -q^m+2 是q的倍數，故1也是q的倍數，矛盾．若q為分數，則 y^m+2 是x的倍數，即y是x的倍數，矛盾，故q只能是無理數．
解答：解：（1）由a=1，且等差數列a，b，c的公差為d，可知 b=1+d，c=1=2d，
若插入的一個數在 a，b之間，則 1+d=q²，1+2d=q³，
消去q可得 （1+2d）²=（1+d）³，其正根為 d=．
若插入的一個數在b，c之間，則 1+d=q，1+2d=q³，
消去q可得 1+2d=（1+d）³，此方程無正根．故所求公差 d=．…（4分）
（2）設在 a，b之間插入l個數，在 b，c之間插入t個數，則l+t=m，在等比數列{a_n} 中，
∵a₁=a，a_l+2=b=，a_m+3=c，a_k•a_m+4-k=a₁•a_m+3…，
∴（a₂•a₃…a_m+2）²=（a₂•a_m+2 ）•（ a₃•a_m+1）…（a_m+1•a₃ ）（a_m+2•a₂）=（ac）^m+1，
 又∵q^l+1=＞0，q^t+1=＞0，l，t 都為奇數，∴q 可以為正數，也可以為負數．
①若q為正數，則 a₂•a₃…a_m+2=，所插入 m 個數的積為
=•；
②若q 為負數，a₂，a₃，…，a_m+2 中共有  個負數，
當  是奇數，即 m=4k-2，k∈N₊ 時，所插入m個數的積為 = ；
當是偶數，即m=4k，k∈N₊時，所插入m個數的積為=-．
綜上所述，所插入m個數的積為 =±．
（3）∵在等比數列{a_n}，由q^l+1 ==，可得 q^l+1 -1=，同理可得 ，
∴q^m+2-1=2（q^l+1 -1），即q^m+2=2 q^l+1 -1，m≥l，
假設q是有理數，若q為整數，∵a，b，c是正數，且d＞0，∴|q|＞1，
在 2 q^l+1 -q^m+2=1中，∵2 q^l+1 -q^m+2 是q的倍數，故1也是q的倍數，矛盾．
若q不是整數，可設q= （其中x，y 為互素的整數，x＞1 ），
則有 =2-1，即 y^m+2=x^m-l+1（2y^l+1-x^l+1），
∵m≥l，可得 m-l+1≥1，∴y^m+2 是x的倍數，即y是x的倍數，矛盾．
∴q是無理數．
點評：本題考查等差數列的定義和性質，通項公式；等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式；用反證法證明數學命題．證明q是無理數，是解題的難點．