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已知△OFQ的面積為，且．
（1）當時，求向量與的夾角θ的取值范圍；
（2）設，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當取得最小值時，求此雙曲線的方程．

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義和三角形面積公式，推出tanθ的解析式，再根據m的范圍，求得tanθ
的范圍，進而求得θ的取值范圍．
（2）設出雙曲線的標準方程和點Q的坐標，有三角形的面積公式求出點Q的橫坐標和縱坐標（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小時點Q的坐標，從而得到雙曲線方程中的待定系數．
解答：解：（1）由已知得 ，∴tanθ=，
∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．
（2）設雙曲線方程為 -=1，（a＞0，b＞0），不妨設點Q的坐標為（m，n），
n＞0，則=（m-c，n），∵△OFQ的面積為 ||•n=2，∴n=．
又由•=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（-1）c2，∴m=，
||==≥，當且僅當c=4時，||有最小值，
此時，點Q的坐標為（，），由此可得，解得 ，
故所求的方程為：=1．
點評：本題考查兩個向量的數量積的定義，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，用待定系數法求雙曲線的方程．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）當
6
＜m＜4
6
時，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；
（2）設|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O為坐標原點，焦點F在x非負半軸上的雙曲線經過點Q，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，以c為變量，當|
OQ
|取最小值時，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；?
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取得最小值時，求此雙曲線的方程．
（3）設F1為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夾角θ的取值范圍；
（2）設以O為中心，F為焦點的雙曲線經過點Q（如圖），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當|
OQ
|取最小值時，求此雙曲線的方程．

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