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已知雙曲線C1：2x2－y2＝2m2(m＞0)，拋物線C2的頂點在原點，焦點F與C1的左焦點重合．

(1)求證C1與C2總有兩個不同的交點；

(2)是否存在過拋物線C2的焦點F的弦AB，使△AOB的面積有最大值或最小值？若存在，求出直線AB的方程；若不存在，說明理由．

答案：
解析：

　　(1)C1的方程為－＝1①，它的左焦點為F(－m，0)，C2的方程為y2＝－4mx②，把②代入①整理得x2＋2mx－m2＝0(m＞0)③，因為Δ＝16m2＞0，故方程③有兩個不等的實根x1，x2，因為x1x2＝－m2＜0，不妨設x1＞0，x2＜0，則＝－4mx1＜0不成立，＝－4mx2＞0，故C1和C2總有兩個不同的交點．

　　(2)若AB⊥x軸，易得S△AOB＝AB·OF＝×4m·m＝6m2，若AB不垂直于x軸，設AB的方程為y＝tanθ(x＋m)(0＜θ＜π，且θ≠＝，代入C2得：y2＋4mycotθ－12m2＝0，因為|AB|＝，而|AB|＝＝，所以|y1－y2|＝|AB|sinθ＝·sinθ＝，所以S△AOB＝|y1－y2|·|OF|＝＞6m2，故S△AOB有最小值6m2，此時AB⊥x軸，AB方程為x＝m．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P（x0，y0）是漸近線為2x±3y=0且經過定點（6，2
3
）的雙曲線C1上的一動點，點Q是P關于雙曲線C1實軸A1A2的對稱點，設直線PA1與QA2的交點為M（x，y），
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）求動點M的軌跡C2的方程；
（3）已知x軸上一定點N（1，0），過N點斜率不為0的直線L交C2于A、B兩點，x軸上是否存在定點 K（x0，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點K的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知雙曲線an-1y2-anx2=an-1an的一個焦點為(0，
cn
)(n≥2)，且c1=6，一條漸近線方程為y=
2
x，其中{an}是以4為首項的正數數列，記Tn=a1c1+a2c2+…+ancn（n∈N*）．
（1）求數列{cn}的通項公式；
（2）數列{cn}的前n項和為Sn，求
lim
n→∞
S
2
n
Tn
；
（3）若不等式
1
c1
+
2
c2
+…+
n
cn
+
n
3•2n
＜
1
3
+loga(2x+1)(a＞0，a≠1)對一切自然數n（n∈N*）恒成立，求實數x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

給出下列命題：
①已知橢圓
x2
16
+
y2
8
=1的兩個焦點為F1，F2，則這個橢圓上存在六個不同的點M，使得△F1MF2為直角三角形；
②已知直線l過拋物線y=2x2的焦點，且與這條拋物線交于A，B兩點，則|AB|的最小值為2；
③若過雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的一個焦點作它的一條漸近線的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則|OM|=a；
④已知⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，則這兩個圓恰有2條公切線．
其中正確命題的序號是______．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省部分重點中學聯考高二（上）期末數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知點P（x，y）是漸近線為2x±3y=0且經過定點（6，2）的雙曲線C1上的一動點，點Q是P關于雙曲線C1實軸A1A2的對稱點，設直線PA1與QA2的交點為M（x，y），
（1）求雙曲線C1的方程；
（2）求動點M的軌跡C2的方程；
（3）已知x軸上一定點N（1，0），過N點斜率不為0的直線L交C2于A、B兩點，x軸上是否存在定點 K（x，0）使得∠AKN=∠BKN？若存在，求出點K的坐標；若不存在，說明理由．

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