Question

（本小題滿分12分）

    如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD ＝90^o，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點，AO交BD于E.

   （1）求證：PA⊥BD；

   （2）求二面角P—DC—B的大�。�

Answer 1

本小題考查空間里的線線、線面垂直關系，二面角的求法以及空間想象能力.

解法一：（1）證明：∵PB=PC，O為BC的中點，

∴PO⊥BC.

又∵平面PBC⊥平面ABCD，

平面PBC∩平面ABCD=BC，

∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，

可得Rt△ABO≌Rt△BCD.

∴∠BEO＝∠OAB+∠DBA＝∠DBC+∠DBA＝90^o，

即AO⊥BD.

∵PA在平面ABCD內的射影為AO，∴PA⊥BD…………………………6分

（2）解：∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，

∴DC⊥平面PBC.

∵PC平面PBC，∴DC⊥PC.

∴∠PCB為二面角P—DC—B的平面角.

∵△PCB是等邊三角形，

∴∠PCB＝60^o，即面角P—DC—B的大小為60^o……………………12分

   解法二：（1）因為△PBC是等邊三角形，O是BC的中點，

由側面PBC⊥底面ABCD得PO⊥底面ABCD.

以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，

過點與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系O—xyz.

（1）證明：在直角梯形中，AB=BC=2. 

CD=1，在等邊三角形中PBC中，PO=.

∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，）.

∴=（-2，-1，0），=（1，-2，-）.

∵·=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-)=0，

∴⊥，即PA⊥BD………………………………………………6分

（2）解：取PC的中點N，則N(-，0，).于是=(-，0，).

∵C（-1，0，0），∴=（0，1，0），=（1，0，），

∴·=(-)×1+0×0+×=0

∴⊥平面PDC.顯然=（0，0，），且⊥平面ABCD.

∴，所夾角等于所求二面角的平面角.

∵·=(-)×0+0×0+×=，

||=，||=，∴cos<，>=.

∴二面角P—DC—B的大小為60^o…………………………………………12分