Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，側面底面，且，為棱上一點，且．

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】

（1）連接，交于點，連接，可證，從而可證結論.
（2）取的中點，連接，,可得，由平面平面，則平面，則以為原點、的方向為軸正方向、的方向為軸正方向、的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，設，用向量方法根據二面角的余弦值為，求出的值，從而求出體積.

（1）連接，交于點，連接，如圖．

∵，

∴與相似，∴．

∵，∴．

∵平面，平面，

∴平面．

（2）取的中點，連接，

∵，∴．

∵平面平面，交線為，∴平面，

∴，．

以為原點、的方向為軸正方向、的方向為軸正方向、的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，

則，，．如圖

設，則，，，

平面的一個法向量．

設平面的法向量，則

取，

由，解得．

∴．