Question

設函數是定義域為的奇函數．
(1)求的值；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
(3)若，試討論函數在上零點的個數情況。

Answer 1

(1) ;(2) (3) 當時在上有一個零點;當時在上無零點.

試題分析：(1) 由奇函數的性質求,可用特殊值或用恒等式對應項系數相等，如果0在奇函數的定義域內,則一定有,如果不在可任取定義域內兩個相反數代入求.
(2)由求出,代入得,換元,注意自變量的取值范圍,每設出一個子母都要把它取的范圍縮到最小以有利于解題, 所以得到得到一個新的函數,利用二次函數函數單調性求最值方法得到,二次函數在區間上的最值在端點處或頂點處,遇到對稱軸或區間含有待定的字母,則要按對稱軸在不在區間內以及區間中點進行討論.
(3)由函數零點判定轉化為二次方程根的判定,即在解個數情況,這個解起來比較麻煩,所以可以用函數單調性先來判定零點的個數,即在上為增函數,也就是在這個區間上是一一映射, 時的每個值方程只有一個解.
試題解析：
(1)為上的奇函數
即

(2)由(1)知
解得或(舍)
且在上遞增

令則
所以令,且
因為的對稱軸為
Ⅰ當時
解得(舍)
Ⅱ當時
解得
綜上:
(3)由(2)可得:
令則
即求,零點個數情況
即求在解個數情況
由得,
所以在上為增函數
當時有最小值為
所以當時方程在上有一根,即函數有一個零點
當時方程在上無根,即函數無零點
綜上所述:當時在上有一個零點
當時在上無零點.