Question

（2012•朝陽區一模）設函數f(x)=

eax

x2+1

，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）單調區間．

Answer 1

分析：（I）先求導數f'（x），欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
（II）對字母a進行分類討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數的單調增區間，令導數小于0，可得函數的單調減區間．

解答：解：因為f(x)=

eax

x2+1

，所以f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

．
（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

ex

x2+1

，f′(x)=

ex(x2-2x+1)

(x2+1)2

，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因為f′(x)=

eax(ax2-2x+a)

(x2+1)2

=

eax

(x2+1)2

(ax2-2x+a)，…（5分）
（1）當a=0時，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函數f（x）在區間（-∞，0）單調遞增，在區間（0，+∞）單調遞減．…（6分）
（2）當a≠0時，設g（x）=ax²-2x+a，方程g（x）=ax²-2x+a=0的判別式△=4-4a²=4（1-a）（1+a），…（7分）
①當0＜a＜1時，此時△＞0．
由f'（x）＞0得x＜

1- 1-a2

a

，或x＞

1+ 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以函數f（x）單調遞增區間是(-∞，

1- 1-a2

a

)和(

1+ 1-a2

a

，+∞)，
單調遞減區間(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)．…（9分）
②當a≥1時，此時△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函數f（x）單調遞增區間是（-∞，+∞）．…（10分）
③當-1＜a＜0時，此時△＞0．
由f'（x）＞0得

1+ 1-a2

a

＜x＜

1- 1-a2

a

；
由f'（x）＜0得x＜

1+ 1-a2

a

，或x＞

1- 1-a2

a

．
所以當-1＜a＜0時，函數f（x）單調遞減區間是(-∞，

1+ 1-a2

a

)和(

1- 1-a2

a

，+∞)，
單調遞增區間(

1+ 1-a2

a

，

1- 1-a2

a

)．…（12分）
④當a≤-1時，此時△≤0，f'（x）≤0，所以函數f（x）單調遞減區間是（-∞，+∞）．…（13分）

點評：本題以三次函數為載體，主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．