Question

湖南省環保研究所對長沙市中心每天環境放射性污染情況進行調查研究后，發現一天中環境綜合放射性污染指數與時刻x的關系為，其中a是與氣象有關的參數，且，若用每天的最大值作為當天的綜合放射性污染指數，并記作.
(Ⅰ)令，求t的取值范圍；
(Ⅱ)省政府規定，每天的綜合放射性污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數是否超標？

Answer 1

(Ⅰ) ；(Ⅱ) 當時不超標，當時超標.

解析試題分析：(Ⅰ)由題意容易知最小值為0，然后由基本不等式得，從而可得t的取值范圍；(Ⅱ)將轉化為關于的函數.然后結合t的取值范圍分段求出函數單調性，從而得到其最大值，即.再通過在中解不等式得到時不超標，當時超標的結論.
試題解析：(Ⅰ)當時，，當，（當且僅當時取等號）
，故t的取值范圍；
(Ⅱ)當時，記，
因為在上遞減，在上遞增，且.

令，解得.
所以當時不超標，當時超標.
考點：1.基本不等式；2.函數的單調性與最值；3.不等式組.