Question

（本題12分）已知集合是同時滿足下列兩個性質的函數組成的集合：

①在其定義域上是單調增函數或單調減函數；

②在的定義域內存在區間，使得在上的值域是．

(1)判斷函數是否屬于集合？并說明理由．若是，則請求出區間；

(2)若函數，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）函數屬于集合，且這個區間是

（2）

【解析】

解： (1)的定義域是，    在上是單調增函數．

設在上的值域是．由  解得：

故函數屬于集合，且這個區間是

 

 (2) 設，則易知是定義域上的增函數．

  ，存在區間，滿足，．

即方程在內有兩個不等實根．

[法1]：方程在內有兩個不等實根，令則其化為:

即有兩個非負的不等實根,

從而有:；

[法2]：要使方程在內有兩個不等實根，

即使方程在內有兩個不等實根．

如圖，當直線經過點時，，

當直線與曲線相切時，

方程兩邊平方，

得，由，得．

因此，利用數形結合得實數的取值范圍是．