Question

已知、為橢圓的左、右焦點，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點，則的內切圓的面積是否存在最大值？

若存在其最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.

【解析】

試題分析：本題考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間的距離公式、三角形面積公式等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質以及數形結合的數學思想方法，考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，先設出橢圓的標準方程，利用橢圓的定義列出，解出和的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，假設直線的斜率存在，設出直線方程與橢圓方程聯立，消參得出關于的方程，得到兩根之和、兩根之積，求出的面積，面積之和內切圓的半徑有關，所以當的面積最大時，內切圓面積最大，換一種形式求的面積，利用換元法和配方法求出面積的最大值，而直線的斜率不存在時，易求出和圓面積，經過比較，當不存在時圓面積最大.

試題解析：（Ⅰ）由已知，可設橢圓的方程為，

因為，所以，，

所以，橢圓的方程為

（也可用待定系數法，或用）      4分

（2）當直線斜率存在時，設直線：，由得，

設，，     6分

所以，

設內切圓半徑為，因為的周長為（定值），，所以當的面積最大時，內切圓面積最大，又，    8分

令，則，所以    10分

又當不存在時，，此時，

故當不存在時圓面積最大， ，此時直線方程為.      12分

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線的方程；3.韋達定理；4.三角形面積公式；5.配方法求函數的最值.