Question

【題目】已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.

（1）求橢圓的方程及離心率；

（2）求四邊形面積的最大值；

（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程. （結論不要求證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ，離心率 （Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：m＝1，可得橢圓方程，根據離心率公式即可求出

（Ⅱ）設直線CD的方程，代入橢圓方程，根據韋達定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，換元，根據函數的單調性即可求得四邊形ACBD面積的最大值．

（Ⅲ）點M在一條定直線上，且該直線的方程為x＝4

（Ⅰ）由題意，得 , 解得.

所以橢圓方程為.

故，，.

所以橢圓的離心率.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，

代入橢圓的方程，得，，

又因為，，

所以四邊形的面積.

當直線的斜率存在時，設的方程為，，，

聯立方程 消去，得.

由題意，可知恒成立，則，

四邊形的面積

，

設，則四邊形的面積，，

所以.

綜上，四邊形面積的最大值為.

（Ⅲ）結論：點在一條定直線上，且該直線的方程為.