Question

已知數列a_n（n∈N*）的前n項和為S_n．若S_n滿足（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，是否存在a₁，使數列a_n為等差數列？若存在，求出a₁的值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

∵（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，
∴

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1(n∈N*)
∴{

Sn

2n-1

}是以S₁=a₁為首項，1為公比的等差數列，
∴S_n=（a₁+n-1）（2n-1）=2n²+（2a₁-3）n+（1-a₁），
當n=1時，S₁=a₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n+2a₁-5，
∵數列a_n為等差數列，
∴a₂-a₁=4?a₁+3=4?a₁=1．
∴存在a₁=1，使數列a_n為等差數列．．