【題目】已知棱長為2的正方體
中，E為DC中點，F在線段
上運動，則三棱錐
的外接球的表面積最小值為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
取
的中點
，易知為
的外心，取
的中點
，連接
，取的中點
，連接
，由正方體的性質可得三棱錐
的外接球球心
在直線上，連接
，取
的中點
，連接
、
，易知當
即點
與重合時，即外接球半徑最小，設
，根據
求得
，進而可求得外接球半徑，即可得解.
取的中點，易知為的外心，取的中點，連接，取的中點，連接，
由正方體的性質可得
平面
，
則三棱錐的外接球球心在直線上，連接，
取的中點，連接、，
由中位線的性質可得
且
，
所以
，所以
平面
，
，
若要使三棱錐的外接球的表面積最小，則要使其半徑即最小，
易知當即點與重合時，最小，
設，由題意
，
，
則
，
，
由可得
，化簡可得，
此時，三棱錐的外接球的半徑
滿足
，
所以三棱錐的外接球的表面積最小值
.
故選：C.
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【題目】為了解運動健身減肥的效果，某健身房調查了20名肥胖者，測量了他們的體重（單位：千克）．健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經過半年的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示，對比健身前后，關于這20名肥胖者，下面結論正確的是（ ）
A.他們健身后，體重在區間
內的人數不變
B.他們健身后，體重在區間
內的人數減少了2個
C.他們健身后，體重在區間
內的肥胖者體重都有減輕
D.他們健身后，這20位肥胖著的體重的中位數位于區間
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】每年的3月12日是植樹節，某公司為了動員職工積極參加植樹造林，在植樹節期間開展植樹有獎活動，設有甲、乙兩個摸獎箱，每位植樹者植樹每滿30棵獲得一次甲箱內摸獎機會，植樹每滿50棵獲得一次乙箱內摸獎機會，每箱內各有10個球（這些球除顏色外全相同），甲箱內有紅、黃、黑三種顏色的球，其中
個紅球，
個黃球，5個黑球，乙箱內有4個紅球和6個黃球，每次摸一個球后放回原箱，摸得紅球獎100元，黃球獎50元，摸得黑球則沒有獎金．
（1）經統計，每人的植樹棵數
服從正態分布
，若其中有200位植樹者參與了抽獎，請估計植樹的棵數在區間
內并中獎的人數（結果四舍五入取整數）；
附：若
，則
，
．
（2）若
，某位植樹者獲得兩次甲箱內摸獎機會，求中獎金額
（單位：元）的分布列；
（3）某人植樹100棵，有兩種摸獎方法，
方法一：三次甲箱內摸獎機會；
方法二：兩次乙箱內摸獎機會；
請問：這位植樹者選哪一種方法所得獎金的期望值較大．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，點
在曲線
上，直線l過點
且與OM垂直，垂足為P.
（1）當
時，求在直角坐標系下點
坐標和l的方程；
（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求點P在極坐標系下的軌跡方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司準備設計一個精美的心形巧克力盒子，它是由半圓
、半圓
和正方形ABCD組成的，且
．設計人員想在心形盒子表面上設計一個矩形的標簽EFGH，標簽的其中兩個頂點E，F在AM上，另外兩個頂點G，H在CN上（M，N分別是AB，CB的中點）．設EF的中點為P，
，矩形EFGH的面積為
．
（1）寫出S關于
的函數關系式
（2）當為何值時矩形EFGH的面積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】斜率為
的直線
過拋物線
：
的焦點
，且與拋物線交于
，
兩點．
（1）設點在笫一象限，過作拋物線的準線的垂線，
為垂足，且
，求點的坐標；
（2）過且與垂直的直線
與圓
：
交于
，
兩點，若
與
面積之和為
，求的值．
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