Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1，|f（-1）|=|f（1）|=1，試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個不等實根，證明必有一實根屬于（x₁，x₂）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x=0，則|f（0）|=|c|=1，令x=-1，則f（-1）=a-b+c=1，令x=1，則|f（1）|=|a+b+c|=1，然后分類討論進行求解．
（Ⅱ）當x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

時：可知f（x）在（x₁，x₂）內是單調的．設f（x₁）＜f（x₂），則必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），因此必然存在實數m∈（x₁，x₂）滿足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．由此入手能夠證明方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個不等實根，必有一實根屬于（x₁，x₂）．

解答：解：（Ⅰ）令x=0，則|f（0）|=|c|=1，令x=-1，則f（-1）=a-b+c=1，令x=1，則|f（1）|=|a+b+c|=1，下面分類討論，①若f（0）=f（-1）=1，由于二次函數只能有兩根相同，則f（1）=-1 所以c=1，a-b+c=1，a+b+c=-1 解得a=-1，b=-1，c=1，不符合a＞0的條件，舍去 ②若f（1）=1，則f（0）=-1 c=-1，a+b+c=1，a-b+c=1，解得a=2，b=0，c=-1，不符合bc≠0的條件，舍去 ③若f（1）=-1，f（0）=-1，則 c=-1，a+b+c=-1，a-b+c=1 解得a=1，b=-1，c=-1，滿足綜上所述：f（x）=x²-x-1．
（Ⅱ）證明：當x2＜-

b

2a

或x1＞-

b

2a

時：可知f（x）在（x₁，x₂）內是單調的．
設f（x₁）＜f（x₂），
則必有f（x₁）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），
因此必然存在實數m∈（x₁，x₂）滿足f（m）=

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．
同理當f（x₁）＞f（x₂）時也成立．當x₁＜-

b

2a

且x₂＞-

b

2a

時：若-

b

2a

＜-x₁＜x₂+

b

2a

，
可設x₁′=-

b

a

-x₁，
則有f（x₁′）=f（x₁），
且f（x）在（x₁′，x₂）是單調的，以后證法同上．
同理當-

b

2a

＞-x₁＞x2+

b

2a

時也成立．
綜上所述：方程f(x)=

1

2

[f(x1)+f(x2)]有兩個不等實根，必有一實根屬于（x₁，x₂）．

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．