Question

(本小題滿分16分)

已知數列和，對一切正整數n都有：

成立．

 （Ⅰ）如果數列為常數列，，求數列的通項公式；

 （Ⅱ）如果數列的通項公式為，求證數列是等比數列．

（Ⅲ）如果數列是等比數列，數列是否是等差數列？如果是，求出這個數列的通項公式；如果不是，請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）數列是4為首項，公比為3的等比數列． 

（Ⅲ）   …

     若時，，數列為等差數列．

     若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,

∴，不是等差數列．

     故時，數列為等差數列；時數列不為等差數列……16分

 

 

【解析】（本小題滿分16分）

（Ⅰ），由已知得：，

     將用迭代得：．（）

      兩式相減得：，當時，適合

      ∴數列的通項公式為．       ………………4分

（Ⅱ），由已知得：，

      將用迭代得：．（n≥2）

      兩式相減得：，   ………………………7分     

將用迭代得：．

      兩式相減得：，經檢驗也適合．

      所以數列的通項公式為．

故數列是4為首項，公比為3的等比數列．    ………………10分

（Ⅲ）設數列的首項為，公比為，由已知得：

     

     即：

     即：

     所以：    ………………………13分

     若時，，數列為等差數列．

     若時，∵a₂－a₁≠a₃－a₂ ,

∴，不是等差數列．

     故時，數列為等差數列；時數列不為等差數列……16分