Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n=3n³+n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）已知數列{b_n}滿足an(2bn-1)=1．T_n=b₁+b₂+…+b_n．
（i）證明：3Tn＞log2

3n+2

2

(n∈N*)；
（ii）是否存在最大的正數k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，對一切n∈N^*都成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）由bn=log2

3n

3n-1

，知Tn=log2 

3

2

+log2

6

5

+…+log2

3n

3n-1

=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)．要證：3Tn＞log2

3n+2

2

，即證：3log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)＞log2

3n+2

2

，由此入手能夠使原不等式得證．

（3）假設存在最大正數k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），所以Tn≥log2

3	k(3n+2)

，由此能夠證明存在最大正數k．

解答：解：（1）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3n-1，
∵n=1時，a₁=S₁=2滿足上式
∴a_n=3n-1（n∈N⁺）．
（2）由（1）得：bn=log2

3n

3n-1

，
∴Tn=log2 

3

2

+log2

6

5

+…+log2

3n

3n-1

=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)．
要證：3Tn＞log2

3n+2

2

即證：3log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)＞log2

3n+2

2

，
即：（

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)3³＞

3n+2

2

，
令g(n)=

( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )3

3n+2 2

，
∵

g(n+1)

g(n)

=

( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 × 3n+3 3n+2 )3

3n+5 2

-

3n+2 2

( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )

=

(3n+3)3

(3n+2)2•(3n+5)

＞

(3n+3)3

( 3n+2+3n+2+3n+5 3 )3

=1，
∴g（n+1）＞g（n）．即g（n）為增．從而g(n)＞g(1)=

( 3 2 )3

5 2

＞1，
∴(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)3＞

3n+2

2

 從而原不等式得證．

（3）假設存在最大正數k，使不等式成立．即3T_n≥log₂k（3n+2），
∴Tn≥log2

3	k(3n+2)

，
∴log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)≥log2

3	k(3n+2)

，
∴

3	k

≤

3 2 × 6 5 ×…× 3n-1 3n

3 3n+2

，
由（2）知g(n)=

( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )3

3n+2 2

為增．
∴

3	k

≤

3 2

3 5

，
∴0＜k≤

27 8

5

=

27

40

，
∴存在最大正數k=

27

40

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，證明3Tn＞log2

3n+2

2

(n∈N*)和判斷是否存在最大的正數k，使不等式3T_n≥log₂k+log₂a_n+1，對一切n∈N^*都成立．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．