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【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，為棱上一點，且平面.

（1）證明：為中點；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）銳二面角的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，利用，證得四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點；

（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2，利用兩個面的法向量求解即可.

試題解析：

（1）證明：取的中點，連接，因為，所以為的中點，又為的中點，所以，因為平面，平面，平面平面，所以，即，又，所以四邊形為平行四邊形，則，所以為的中點.

（2）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨令正方體的棱長為2，則，可得，，設是平面的法向量，則.令，得.

易得平面的一個法向量為，

所以 .

故所求銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的各棱中，最長棱的長度為（ ）

A. B. C. 2 D. 1

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【題目】為了調查學生數學學習的質量情況，某校從高二年級學生（其中男生與女生的人數之比為）中，采用分層抽樣的方法抽取名學生依期中考試的數學成績進行統計.根據數學的分數取得了這名同學的數據，按照以下區間分為八組：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧

得到頻率分布直方圖如圖所示.已知抽取的學生中數學成績少于分的人數為人.

（1）求的值及頻率分布直方圖中第④組矩形條的高度；

（2）如果把“學生數學成績不低于分”作為是否達標的標準，對抽取的名學生，完成下列列聯表：

據此資料，你是否認為“學生性別”與“數學成績達標與否”有關？

（3）若從該校的高二年級學生中隨機抽取人，記這人中成績不低于分的學生人數為，求的分布列、數學期望和方差

附1：“列聯表”的卡方統計量公式：

附2：卡方（）統計量的概率分布表：

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【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O為AD中點．

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）線段AD上是否存在點，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

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【題目】4月23日是“世界讀書日”，某中學在此期間開展了一系列的讀書教育活動.為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個小組中隨機抽取10名學生參加問卷調查.各組人數統計如下：

（1）從參加問卷調查的10名學生中隨機抽取兩名，求這兩名學生來自同一個小組的概率；

（2）在參加問卷調查的10名學生中，從來自甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取兩名，用表示抽得甲組學生的人數，求的分布列和數學期望.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為.

（1）寫出直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；

（2）已知點，點，直線過點且與曲線相交于，兩點，設線段的中點為，求的值.

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【題目】已知函數 .

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數與圖象在上有兩個不同的交點，求實數的取值范圍.

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【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區各投入萬元廣告費用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤，橫軸的數據丟失，但可以確定橫軸是從開始計數的. [附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]

（1）根據頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;

（2）試估計該公司投入萬元廣告費用之后，對應銷售收益的平均值(以各組的區間中點值代表該組的取值);

（3）該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數據,并整理得到下表:

廣告投入 (單位:萬元)

1

2

3

4

5

銷售收益 (單位:萬元)

2

3

2

7

由表中的數據顯示, 與之間存在著線性相關關系,請將（2）的結果填入空白欄,并求出關于的回歸直線方程.

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【題目】如圖，已知中，角的對邊分別為，．

（Ⅰ）若，求面積的最大值；

（Ⅱ）若，求.

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