Question

拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x²+y²=9相交，公共弦MN的長為2

5

，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標與準線方程．

Answer 1

分析：根據公共弦長為2

5

，設M（m，-

5

）、N（m，

5

），代入圓方程解出m=±2，從而得出點M、N的坐標．再設拋物線方程為x²=2ay（a≠0），代入M、N坐標解出a值，即可得到拋物線的方程，進而可得拋物線的焦點坐標與準線方程．

解答：解：∵拋物線與圓x²+y²=9相交，公共弦MN的長為2

5

，
∴設M（m，-

5

）、N（m，

5

）．
將M、N坐標代入圓方程，得m²+5=9，解得m=±2（舍負），
∴M（2，-

5

）、N（2，

5

），或M（-2，-

5

）、N（-2，

5

），
設拋物線方程為x²=2ay（a≠0），
∵點M、N在拋物線上，
∴5=2a×（±2），解得2a=±

5

2

，
故拋物線的方程為x²=

5

2

y或x²=-

5

2

y．
拋物線x²=

5

2

y的焦點坐標為（0，

5

8

），準線方程為y=-

5

8

；
拋物線x²=-

5

2

y的焦點坐標為（0，-

5

8

），準線方程為y=

5

8

．

點評：本題已知拋物線與圓相交所得的弦長，求拋物線的方程．著重考查了直線與圓的位置關系、拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．