Question

設a（0＜a＜1）是給定的常數，f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，若f（

1

2

）=0，f（log_at）＞0，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用條件得f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數值為正，把f（log_at）＞0轉化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底數小于1的對數函數是減函數即可求t的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，
∴在（-∞，0）上是增函數，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函數值為正
∴f（log_a^t）＞0轉化為log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴log_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜t＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜t＜

1

a

，
故答案為（1，

1

a

）∪（0，

a

）．

點評：本題考查了函數的單調性和奇偶性的應用，在利用單調性解題時遵循原則是：增函數自變量越大函數值越大，減函數自變量越小函數值越�。�