Question

已知函數f（x）=λ•2^x-4^x的定義域為[0，1]．
（1）若函數f（x）在[0，1]上是單調遞減函數，求實數λ的取值范圍；
（2）若函數f（x）的最大值為

1

2

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（1）設2^x=t，原題轉化為y=-t²+λt在[1.2]是減函數，由此能求出實數λ的取值范圍．
（2）設2^x=t，原題轉化為y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]最大值為

1

2

，求實數λ的值．對λ分類討論，求出在區間[1，2]上的最大值，使其等于

1

2

，解出λ即可．

解答：解：（1）設2^x=t，
∵函數f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定義域為[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函數f（x）在[0，1]上是單調遞減函數，
∴y=-t²+λt在[1.2]是減函數，
∴t=

λ

2

≤1，解得λ≤2，
∴實數λ的取值范圍是（-∞，2]．
（2）∵函數f（x）=λ•2^x-4^x的定義域為[0，1]，最大值為

1

2

，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，t∈[1.2]，
∴對稱軸方程為t=

λ

2

，
①當

λ

2

＜1時，y=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

在[1.2]是減函數，
∴當t=1時，y取最大值ymax=-(1-

λ

2

)2+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

3

2

．
②當1≤

λ

2

≤2時，當t=

λ

2

時，y取最大值y_max=-（

λ

2

-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=±

2

，（舍）
③當

λ

2

＞2時，當t=2時，y取最大值y_max=-（2-

λ

2

）²+

λ2

4

=

1

2

，解得λ=

9

4

．
綜上所述，實數λ的值為

3

2

，或

9

4

．

點評：本題考查二次函數的單調性及二次函數在給定區間上的最值問題，考查分類討論思想，解題時要注意換元法的合理運用．