Question

已知數列an=

an+bn+1

an+bn+2

（a＞b＞0，n∈N^*），試判定：依據a、b的不同取值，集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有三個元素，并用列舉法表示集合M．

Answer 1

分析：由結論：“當|q|＜1時，

lim

n→∞

qn=0“，且根據本題條件a＞b＞0，故本題需根據變量a和常數1的大小比較進行分類討論
分（1）當1＞a＞b＞0時，（2）當a=1＞b＞0時，（3）當a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0三種情況討論，進行求解

解答：解：由結論：“當|q|＜1時，

lim

n→∞

qn=0“，且根據本題條件a＞b＞0，故本題需根據變量a和常數1的大小比較進行分類討論
（1）當1＞a＞b＞0時，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

1

2

（2）當a=1＞b＞0時，

lim

n→∞

an+bn+1

an+bn+2

=

lim

n→∞

2+bn

3+bn

=

2

3

（3）當a＞1＞b＞0或a＞b≥1＞0時，

lim

n→∞

an+bn+ 1

an+bn+2

=

lim

n→∞

1+( b a )n+ 1 an

1+( b a )n+ 2 an

=1
故集合M={m|m=

lim

n→∞

an}含有以三個元素，用列舉法表示集合M={

1

2

，1，

2

3

}

點評：本題主要考查了數列極限求解的結論：“當|q|＜1時，

lim

n→∞

qn=0“，的簡單應用，本題需根據變量a和常數1的大小比較進行分類討論，體現了分類討論的思想在解題中的應用．