Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+ （x＞0）．
（1）若y=g（x）﹣m有零點，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g（x）﹣f（x）=0有兩個相異實根．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=x+ ≥2 =2e；

（當且僅當x= ，即x=e時，等號成立）

∴若使函數y=g（x）﹣m有零點，

則m≥2e；

故m的取值范圍為[2e，+∞）

（2）解：令F（x）=g（x）﹣f（x）

=x+ +x2﹣2ex﹣m+1，

F′（x）=1﹣ +2x﹣2e=（x﹣e）（ +2）；

故當x∈（0，e）時，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）時，F′（x）＞0；

故F（x）在（0，e）上是減函數，在（e，+∞）上是增函數，

故只需使F（e）＜0，

即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；

故m＞2e﹣e2+1

【解析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+ ≥2 =2e，從而求m的取值范圍；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x+ +x2﹣2ex﹣m+1，求導F′（x）=1﹣ +2x﹣2e=（x﹣e）（ +2）；從而判斷函數的單調性及最值，從而確定m的取值范圍．