Question

【題目】已知函數（）.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）設，當時，若對任意，存在，使，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時， 的單調增區間為，單調減區間為.

當時， 的單調增區間為，單調減區間為和，

當時， 的單調減區間為；

（2）的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）首先求得函數的定義域與導函數，然后分、、求得函數的單調區間；（2）首先結合（1）求得當時的最小值，然后利用分離參數法得，由此令，從而根據的單調性求得其最小值，進而求得的取值范圍．

試題解析：（1）的定義域為，

當時，由，∴的單調增區間為

由，∴的單調減區間為，

當時，由，∴的單調增區間為，

由，∴的單調減區間為，

當時，由，∴的單調增區間為，

由和，∴的單調減區間為和.

當時， ，∴的單調減區間為，

綜上所述當時， 的單調增區間為，單調減區間為.

當時， 的單調增區間為，單調減區間為和，

當時， 的單調減區間為.

（2）當時，由（1）知在， ，依題意有，

∵ 在上有解，

令，知在單調遞減，在單調遞增，

∴

∴，∴的取值范圍為.

或用，而，對分三種情況：

① 無解；

② ；

③ .

綜上：∴的取值范圍為.