Question

已知函數f(x)是定義在R上不恒為零的函數,且對于任意實數a,b∈R,滿足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,a_n=(n∈N^*),b_n=(n∈N^*).
考察下列結論:
①f(0)=f(1);②f(x)為偶函數;
③數列{a_n}為等比數列;
④數列{b_n}為等差數列.
其中正確的結論共有(　　)

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

根據所給的四個條件,逐條驗證即可.注意②中用特殊值驗證,③④用定義判斷.
∵f(0)=f(0×0)=0,
f(1)=f(1×1)=2f(1),
∴f(1)=0,①正確;
又f(1)=f((-1)×(-1))=-2f(-1),
∴f(-1)=0,f(-2)=f(-1×2)=-f(2)+2f(-1)=-2≠f(2),
故f(x)不是偶函數,故②錯;
∵f(2ⁿ)=f(2·2^n-1)=2f(2^n-1)+2^n-1f(2)=2f(2^n-1)+2ⁿ,
∴=+1,
即b_n=b_n-1+1,
∴{b_n}是等差數列,④正確;
b₁==1,
b_n=1+(n-1)·1=n,
f(2ⁿ)=2ⁿb_n=n·2ⁿ,
a_n==2ⁿ,
故數列{a_n}是等比數列,③正確.故選C.