Question

【題目】已知函數

（1）若，方程的實根個數不少于2個，證明：

（2）若在，處導數相等，求的取值范圍，使得對任意的，，恒有成立.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據導數求出函數的單調性及最值，分析函數的大致圖象，即可求出滿足條件的的取值范圍；

（2）先由題意知在不單調得，分與兩種情況，研究的最大值，從而得證.

（1）函數的導函數為：.

函數的導函數為：.

時，，單調遞增；

時，單調遞減

因為時，時.

所以有兩個不同的實數根，（其中）.

時，即在上單調遞減,在上單調遞減；

時，即在上單調遞增.

又因為時，時，

所以，

故即有實根個數不少于2個

由題意得，.

因為，所以.

故.

（2）函數的導函數.

由題意得，在不單調

所以，

函數的導函數為：.

又時，單調遞增：時，單調遞減

所以a的取值范圍是

因為時，時.

所以，.

由得，.

而，其中.

設，，函數的導函數

.即在上單調遞增

所以，.即.

因此，.

故.即在上單調遞減.

若，則

.即在上單調遞減.

所以

若，因為，所以必有，使得當時，

即在上單調遞增，這與恒成立矛盾.

綜上，.（開閉區間不作要求）