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(2001•江西)設0<θ<
π2
,曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個不同的交點.
(Ⅰ)求θ的取值范圍;
(Ⅱ)證明這4個交點共圓,并求圓半徑的取值范圍.
分析:(I)聯立方程,組成方程組,有4個不同交點等價于x2>0,且y2>0,即可求θ的取值范圍;
(Ⅱ)確定圓的圓心在原點,半徑為r=
2cosθ
(0<θ<
π
4
)
,從而可求圓半徑的取值范圍.
解答:(I)解:兩曲線的交點坐標(x,y)滿足方程組
x2sinθ+y2cosθ=1
x2cosθ-y2sinθ=1
x2=sinθ+cosθ
y2=cosθ-sinθ.

有4個不同交點等價于x2>0,且y2>0,即
sinθ+cosθ>0
cosθ-sinθ>0.

又因為0<θ<
π
2
,所以得θ的取值范圍為(0,
π
4
)

(II)證明:由(I)的推理知4個交點的坐標(x,y)滿足方程x2+y2=2cosθ(0<θ<
π
4
)
,
即得4個交點共圓,該圓的圓心在原點,半徑為r=
2cosθ
(0<θ<
π
4
)

因為cosθ在(0,
π
4
)
上是減函數,所以由cos0=1,cos
π
4
=
2
2
,
知r的取值范圍是(
42
,
2
)
點評:本小題主要考查坐標法、曲線的交點和三角函數性質等基礎知識,以及邏輯推理能力和運算能力.
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