分析:(I)聯立方程,組成方程組,有4個不同交點等價于x
2>0,且y
2>0,即可求θ的取值范圍;
(Ⅱ)確定圓的圓心在原點,半徑為
r=(0<θ<),從而可求圓半徑的取值范圍.
解答:(I)解:兩曲線的交點坐標(x,y)滿足方程組
| x2sinθ+y2cosθ=1 | | x2cosθ-y2sinθ=1 |
| |
即
| x2=sinθ+cosθ | | y2=cosθ-sinθ. |
| |
有4個不同交點等價于x
2>0,且y
2>0,即
又因為
0<θ<,所以得θ的取值范圍為(0,
).
(II)證明:由(I)的推理知4個交點的坐標(x,y)滿足方程
x2+y2=2cosθ(0<θ<),
即得4個交點共圓,該圓的圓心在原點,半徑為
r=(0<θ<).
因為cosθ在
(0,)上是減函數,所以由
cos0=1,cos=,
知r的取值范圍是
(,).
點評:本小題主要考查坐標法、曲線的交點和三角函數性質等基礎知識,以及邏輯推理能力和運算能力.