Question

已知函數f（x）定義域為[O，1]，且同時滿足：
①對于任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3；
②f（1）=4；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-3．
（I）求f（0）的值；
（II）求函數f（x）的最大值；
（III）設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，S_n=-（a_n-3），n∈N⁺．求證：f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）＜3n+．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用賦值法，令x₁=x₂=0，結合f（x）≥3對一切x∈[0，1]恒成立，我們可以求出f（0）；
（Ⅱ）先證明f（x）在[0，1]上遞增，利用f（1）=4，即可求得f（x）的最大值為；
（Ⅲ）先求數列{a_n}的通項，再證明f（a_n）≤3+，利用疊加，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）解：令x₁=x₂=0，則有f（0）≥2f（0）-3，即f（0）≤3
又對任意任意x∈[0，1]，總有f（x）≥3，∴f（0）=3 （3分）
（Ⅱ）解：任取x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]≥f（x₁）+f（x₂-x₁）-3
∵0＜x₂-x₁≤1，∴f（x₂-x₁）≥3
∴f（x₂）≥f（x₁）+3-3
∴f（x₂）≥f（x₁），即f（x）在[0，1]上遞增．
∴當x∈[0，1]時，f（x）≤f（1）=4，∴f（x）的最大值為4 （6分）
（Ⅲ）證明：當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=-（a_n-3）+（a_n-1-3），
∴ （7分）
∴數列{a_n}是以1為首項，公比為的等比數列，
∴ （8分）
∵f（1）=f[3^n-1×]=f[+（3^n-1-1）×]≥f（）+f[（3^n-1-1）×]-3
即 4≥3^n-1f（）-3ⁿ+3 （10分）
∴f（）≤=3+，
即f（a_n）≤3+，（11分）
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）≤（3+）+…+（3+）=3n+-＜3n+．
∴原不等式成立 （14分）
點評：本題考查抽象函數，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查數列與函數的關系，考查不等式的證明，綜合性強．