Question

已知奇函數的定義域為R，且恒有．
（1）求a，b的值；
（2）寫出函數y=g（x）在[-1，1]上的單調性，并用定義證明；
（3）討論關于x的方程g（x）-t=0（t∈R）的根的個數．

Answer 1

解：（1）∵g（x）為奇函數且函數的定義域為R，
∴a＞0且g（0）==0
∴b=0，故有g（x）=
∵恒成立即恒成立
整理可得，x²-2ax+a≥0恒成立
∴△=4a²-4a≤0
解可得，0＜a≤1
∵a∈N^*
∴a=1
（2）g（x）在[-1，1]上單調遞增，證明如下
z證明：由（1）可得，g（x）=，x∈[-1，1]
設0≤x₁＜x₂≤1
則g（x₁）-g（x₂）=
=
=
∵0≤x₁＜x₂≤1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
則g（x₁）-g（x₂）=＜0
即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在[0，1]上單調遞增
根據奇函數對稱區間上的單調性一致可知，且g（0）=0，則可得g（x）在[-1，0）上單調遞增
綜上可得，g（x）在[-1，1]上單調遞增
（3）由（2）可得，-
①當t或t時，方程g（x）-t=0沒有實數根
②當-時，方程g（x）-t=0有1根實數根
分析：（1）由g（x）為奇函數且函數的定義域為R，可知a＞0且g（0）=0可求b，然后由恒成立，結合二次函數性質及a∈N^*可求a
（2）可先證明g（x）=，x∈[0，1]上的單調性，然后根據奇函數對稱區間上的單調性一致可知，且g（0）=0，則可判斷g（x）在[-1，0）上單調性
（3）由（2）的函數的單調性可求g（x）的值域，即可判斷方程的根的個數
點評：題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，求函數的解析式和單調區間，函數的奇偶性的應用，體現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．