Question

【題目】在直三棱柱中， ， ， 是的中點.

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析: (1)第(1)問, 連接，交于點，連結，證明即得平面 . (2)第(2)問, 以為坐標原點，以為軸，以為軸，以過點垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值.

試題解析:

（1）連接，交于點，連結，

∵在直三棱柱中， ，

∴是正方形，∴是的中點，

∵是的中點，∴是的中位線，∴，

∵不包含于平面， 平面，

∴平面.

（2）以為坐標原點，以為軸，以為軸，

以過點垂直于的直線為軸，建立空間直角坐標系，

∵， ， 是的中點，

∴， ， ， ，

∴， ， ，

設平面的法向量，則， ，

∴，∴，

設平面的法向量，則， ，

∴，∴，

設二面角的平面角為，

.∴二面角的余弦值為.