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已知橢圓C:的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M(2，0)的直線與橢圓C交于兩點A和B，設P為橢圓上一點，且滿足·（O為坐標原點），當 時，求實數t取值范圍。

（1）；（2）

解析試題分析：（1）利用圓心到直線的距離等于短半軸長及離心率為建立方程，解方程即可求出橢圓C的方程；（2）可以設直線：與橢圓方程聯立，得到方程，然后結合題目條件滿足·（O為坐標原點），，利用判別式及韋達定理建立不等式，可以求出t的取值范圍.
試題解析：(Ⅰ) 由題意知，短半軸長為：，     1分
∵，∴，
即，∴，                               2分
故橢圓的方程為：.                    3分
（2）由題意知，直線的斜率存在，設直線：，  4分
設，，，
由得，.    5分
，解得.       6分
.
∵，∴，解得，.                 7分
∵點在橢圓上，∴，
∴.                             8分
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴                10分
∴，∵，∴，
∴或，
∴實數取值范圍為.            12分
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）向量在解析幾何在的應用；（3）直線與圓錐曲線的問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的方程為＝1(a>b>0)，雙曲線＝1的兩條漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點，設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；
(2)當＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知雙曲線＝1的離心率為2，焦點到漸近線的距離等于，過右焦點F2的直線l交雙曲線于A、B兩點，F1為左焦點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若△F1AB的面積等于6，求直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a>b>0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.

(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，若，且.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知定點，若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點，且對于軌跡上任意一點，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓＝1的右頂點，點D(1，0)，點P、B在橢圓上，＝.
 
(1) 求直線BD的方程；
(2) 求直線BD被過P、A、B三點的圓C截得的弦長；
(3) 是否存在分別以PB、PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),且點P(0,1)在C1上.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點M,N(點M在點N的右側),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;
(2)若過點M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點,求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知點在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點，且，其中為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，設是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求直線的方程;
（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點,,其中點的坐標為,若點是線段垂直平分線上一點,且滿足,求實數的值.

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