Question

【題目】某休閑廣場中央有一個半徑為1（百米）的圓形花壇，現計劃在該花壇內建造一條六邊形觀光步道，圍出一個由兩個全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）構成的六邊形ABCDEF區域，其中A、B、C、D、E、F都在圓周上，CF為圓的直徑（如圖）．設∠AOF=θ，其中O為圓心．
（1）把六邊形ABCDEF的面積表示成關于θ的函數f（θ）；
（2）當θ為何值時，可使得六邊形區域面積達到最大？并求最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：作AH⊥CF于H，

則OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，

則六邊形的面積為f （θ）=2× （AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ

=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）

（2）解：f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]

=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．

令 f′（θ）=0，因為θ∈（0， ），

所以cosθ= ，即θ= ，

當θ∈（0， ）時，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0， ）上單調遞增；

當θ∈（ ， ）時，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（ ， ）上單調遞減，

所以當θ= 時，f （θ）取最大值f （ ）=2（cos +1）sin = ．

答：當θ= 時，可使得六邊形區域面積達到最大，最大面積為 平方百米

【解析】（1）作AH⊥CF于H，則六邊形的面積為f （θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0， ）．（2）求導，分析函數的單調性，進而可得θ= 時，f （θ）取最大值．