Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面底面，，，，，分別為，的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，根據線線平行證線面平行，再根據線面平行得面面平行，最后根據面面平行得結果，（2）先根據條件得，，兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，設各點坐標，利用方程組解得各面法向量，再根據向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系得結果.

（1）證明：取的中點，連接，，由于，分別為，的中點，所以.又平面，平面，所以平面.又且，

所以四邊形是平行四邊形.

則，又平面，平面，

所以平面.

所以平面平面.又平面，

所以直線平面

（2）解：令，

由于為中點，則，又側面底面，交線為，平面，則平面，連接，可知，，兩兩垂直.以為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，

令平面的法向量為，

由則令，則.

令平面的法向量為，

由則令，則

由，故二面角的余弦值為.