Question

【題目】某校興趣小組在如圖所示的矩形區域內舉行機器人攔截挑戰賽，在處按方向釋放機器人甲，同時在處按某方向釋放機器人乙，設機器人乙在處成功攔截機器人甲，若點在矩形區城內(包含邊界)，則挑戰成功，否則挑戰失敗，已知米，為中點，機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線遠動方式行進.

（1）如圖建系，求的軌跡方程；

（2）記與的夾角為，，如何設計的長度，才能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使之挑戰成功？

（3）若與的夾角為，足夠長，則如何設置機器人乙的釋放角度，才能挑戰成功？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先設（），由題意得到，，，列出等量關系，化簡整理，即可得出結果；

（2）由（1）的結果，得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區域內的部分，進而可得出結果；

（3）根據題意得到，，根據正弦定理求出，進而可求出結果.

（1）設（），由題意可得：，，

又機器人乙的速度是機器人甲的速度的2倍，比賽中兩機器人均按勻速直線遠動方式行進，

所以，

即，整理得：（）；

（2）由（1）知，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的上半圓在矩形區域內的部分，

所以當時，就能確保無論的值為多少，總可以通過設置機器人乙的釋放角度使之挑戰成功；

（3）由題意，在中，，，

由正弦定理得：，

所以，因此，

即應在矩形區域內，按照與方向夾角為的方向釋放機器人乙，才能挑戰成功.