Question

已知數列的首項．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）記，若，求最大正整數的值；
（3）是否存在互不相等的正整數，使成等差數列，且成等比數列？如果存在，請給予證明；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明過程見解析;（2）最大正整數的值為100;（3）滿足題意的正整數不存在.

試題分析：（1）由已知條件構造出，據等比數列的定義知數列為等比數列；（2）由等比數列的通項公式求出的通項公式.易得出，再解出即可;（3）假設存在，可得，由通項公式代入化簡可得，因為，當且僅當時等號成立，又互不相等，則不存在.
試題解析：解：（1）因為，所以
又因為，所以，所以數列為等比數列.    4分
（2）由（1）可得，所以，
，
若，則，所求最大正整數的值為100.    9分
（3）假設存在滿足題意的正整數，
則，，
因為，所以，
化簡得，，因為，
當且僅當時等號成立，又互不相等，
所以滿足題意的正整數不存在.      14分