Question

【題目】在直角坐標系中，點，曲線（為參數），其中，在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：．

（Ⅰ）若，求與公共點的直角坐標；

（Ⅱ）若與相交于不同的兩點，是線段的中點，當時，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】分析：（Ⅰ）若，曲線方程變為 ，消去參數可得曲線的普通方程為。曲線：．變為 ，化簡可得，變形為，可得曲線的直角坐標方程為，聯立直角坐標方程可得，解方程組可得與公共點的直角坐標。（Ⅱ）因為曲線（為參數），經過點，已知，所以求應根據參數的幾何意義。故將曲線（為參數），的方程代入曲線的直角坐標方程得，由根與系數的關系可得。因為與相交于不同的兩點，所以由可得，。

因為是線段的中點，所以，

整理可得，進而解得．

詳解：（1）若，曲線的普通方程為，

曲線的直角坐標方程為，

由解得

所以與公共點的直角坐標為；

（2）將代入得：

設A、B兩點對應參數分別為。

由得，，

由，得

得．