Question

【題目】如圖所示，在三棱錐SABC中，，O為BC的中點．

（1）求證：面ABC；

（2）求異面直線與AB所成角的余弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使二面角的平面角的余弦值為；若存在，求的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，BE：BA＝1：2，理由見解析

【解析】

（1）由題意及所給的邊長設，則SO＝，AO＝，SA＝a，得到SO⊥OA，及利用線線垂直的判定定理得到線面垂直；

（2）由題意及圖形特點以O為原點，以OA，OB，OS所在射線為x軸，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標系．寫出點的坐標，利用異面直線所成角的定義求出夾角；

（3）由題意屬于開放性的題目，利用假設存在，利用條件對于坐標設出未知的變量，利用向量的知識解出變量的大小，進而求出二面角的大小．

（1）在三棱錐SABC中，，O為BC的中點，

連接SO，顯然SO⊥BC，設SB＝a，則SA＝a，SO＝，AO＝，

∴SO2+OA2＝SA2，∴SO⊥OA，又∴BC∩OA＝0，∴SO⊥平面ABC．

（2）以O為原點，以OA，OB，OS所在射線為x軸，y軸，z軸正半軸建立空間直角坐標系．

則有O（0，0，0），，，，，

∴，，∴，

∴異面直線SC與AB所成角的余弦值為.

（3）假設存在E滿足條件，設（），則，

所以．

設面SCE的法向量為＝（x，y，z），

由，得，．

因為OA⊥面ABC，所以可取向量＝（1，0，0）為面SBC的法向量．

所以，，解得，或（舍）．

所以，當BE：BA＝1：2時，二面角B﹣SC﹣E的余弦值為．