Question

 

（本小題滿分13分）

已知拋物線：的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）經過、兩點分別作拋物線的切線、，切線與相交于點．證明：；

（3） 橢圓上是否存在一點，經過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），使得直線過點？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設橢圓的方程為 ，半焦距為.由已知條件得，

∴解得.                  ……………… ……………分

（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點，不合題意，

 故可設直線的方程為  ，， 由

消去并整理得 ，∴ . ∵，得…5分

∴過拋物線上、兩點的切線方程分別是，

 ，即  ， ，解得兩條切線、的交點的坐標為，即，……分

∴∴. ………8分

（3）假設存在點滿足題意，由（2）知點必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點，故的坐標為，設過點且與拋物線相切的切線方程為：，其中點為切點.

令得，， 解得或  ，     ………10分

故不妨取，即直線過點.綜上所述，橢圓上存在一點，經過點作拋物線的兩條切線、     （、為切點），能使直線過點.

 此時，兩切線的方程分別為和.              …………11分

 .     …………13分

 

【解析】略